질량 관성 모멘트 (moment of inertia)

한 축(y) 에 대한 관성 모먼트

정의 : 물체가 한 축을 중심으로 회전하는 상태를 계속 "유지" 하는 성질 [kg*m^2]

 

y^2 = x

위 도형이 솔리드이고 밀도가 3000kg 일때 우선 원통 좌표계의 연산자인, dm = rdrdθdz 를 사용한다.

 

 

r 은 0 ~ 1, θ 는 360도, r = y^2 즉 반지름이 높이의 제곱으로 형성되기 때문에 이를 적분구간으로 지정함.

 

r 의 경로는 원판의 내부를 적분으로써 훑는 경우라 볼 수 있음.

 

 

가는 봉의 질량 관성 모먼트 (1차원, 선형 질량 밀도 사용)

- 1차원이기 때문에, 적분을 하나만 쓰면 됨. 선형 질량 밀도는 질량 / 길이 임.

- 가는 봉의 경우 1/12 * ml^2 을 써서 쉽게 구할 수도 있다.

 

평행축 정리

- I_g 로 부터 d 만큼 떨어진 평행한 I 축에서의 질량 관성 모먼트는

 

 

이는 처음 질량관성모먼트 r 을 벡터로 치환 후 인수분해 전개한 후 각각 적분 수행 할 때,

 

두번째 항의 r 은 G 점, 무게중심에 관한 것으로 r 의 평균이 0 이며, 첫번째 항은 I_g 이고, 세번째 항은 md^2 이기에

위 식이 성립하는 것임.