강체의 운동역학(1)

강체를 구성하는 한 dm 인 질점의 속도가 v_i 일때 이 질점의 운동 에너지는

 

그리고 강체 전체의 운동에너지는 미소질량 단위의 적분이다. 다만 속도의 제곱 부분을 전개하기 어렵다.

v_i  제곱을 전개하기 위해 임의의 점 P 의 속도로 나타낸다면

v_{i/P} 는 i 가 P를 중심으로 회전하므로...

외적곱을 수행 후 같은 단위벡터로 묶은 뒤 제곱연산

 

vpx 나 vpy 를 vp 로 묶는다. x^2 + y^2 또한 r^2 임.

 

이후 미소질량 단위 적분 식에 대입하면 아래와 같이 된다.

 

이는 아래와 같은 식으로 치환될 수 있으며, P = G 일 경우 그 다음 식으로 간략화 하여 표현할 수 있다.

위 식은 병진 항인 첫번째와 회전운동 에너지 항인 두번째 항을 가진다. 

 

다만 강체의 영 속도 순간 중심에 대한 운동(IC) 로 표현할 시 회전 운동 에너지만 고려하여 아래와 같이 표현할 수도 있다.

 

 

 

 

 

 

만일 외력 F 가 r 만큼 이동하였다면 이때 힘이 한 일 (work) 은 내적 곱을 수행하여 다음과 같이 정의된다.

예시로 F 에 훅의 법칙을 대입한다면,

스프링이 한 일.

 

여기서, 일의 부호가 음수라는 것은, 힘이 이동방향과 반대로 작용하고 있다는 것을 말함.

 

 

 

 

아래는 일과 에너지의 원리에 대한 엄밀한 식임.

 

이는 다시 말해 각 힘의 작용점에 대한 일의 양은 질량중심의 속도에 관한 운동 에너지의 양과 일치하다는 뜻임.

 

또한 에너지 보존 법칙에 의해 한 일이 없을 경우가 있을 수 있음.